標本分布論

ある確率分布 $X \sim F$ に従う互いに独立な $n$ 個の確率変数 $X_1,X_2,\cdots X_n$ を得るとする. すなわち, 同時分布 $F_N$ について

\[ F_N(x_1, x_2, \cdots, x_n) = F(x_1)F(x_2)\cdots F(x_n) \]

であるとする. このことを単にこれから

\[ X_1,X_2,\cdots , X_n \sim F\quad i.i.d. \]

と表す. また, $\mathbb{E}[X]$ を母集団分布の平均, または母平均と呼び, と標本平均 $\overline{X}$ を

\[ \overline{X} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_n \]

により定める($\overline{X}$ は確率変数の和なので確率変数である).

さらに, 関数 $T:x=(x_1,x_2,\cdots x_n) \mapsto T(x)\in \mathbb{R}^k$ としたとき, 確率変数 $T(X)$ を $k$-次元統計量と呼ぶ.

$k=1$ のとき, たんに統計量と呼ぶ. また, 標本平均は統計量である.

統計量の従う分布を標本分布と呼ぶ.