統計で扱う確率の記法

確率の記法をまとめる

確率とは

事象 $A$ に対して $P:A \mapsto [0,1]$ を対応させる写像みたいなもの.

和の法則とかを満たす

確率変数とは

実数に値をとる関数 $X$ が確率変数であるとは,

\[ F_X(x) = P(X\le x), \quad x\in \mathbb{R} \]

が [0,1] に値をとる単調増加関数であり,

\[ \begin{aligned} \lim_{x\rightarrow -\infty} F_X(x) &= 0,\\ \lim_{x\rightarrow +\infty} F_X(x) &= 1,\\ \end{aligned} \]

をみたすものを言う. また, ここで現れた単調増加関数 $F_X: \mathbb{R} \rightarrow [0,1]$ を累積分布関数, または, 分布関数と呼ぶ.

一方で, 確率変数 $X$ と関数 $F$ の間に

\[ F(x) = P(X\le x), \quad x\in \mathbb{R} \]

が成り立つとき, $X$ は分布 $F$ に従うといい, $X\sim F$ と書く.

同値関係を定めていないのに $\sim$ を使うのは気持ち悪いけど仕方ない.