レヴィの連続性定理
実数値確率変数 $X_n$ ($n = 1,2,\ldots$) の特性関数を $\varphi_n(t)$ とし, 実数値確率変数 $X$ の特性関数を $\varphi(t)$ とする. このとき, 以下は同値となる.
- $X_n$ は $X$ に分布収束する.
- $\varphi_n$ は $\varphi$ に各点収束する.
証明
$X_n$ が $X$ に分布収束するならば$\varphi_n$ は $\varphi$ に各点収束すること
$X_n$ が $X$ に分布収束すると仮定する.
このとき任意の有界連続関数 $f$ について
\[ \mathbb{E}[f(X_n)] \rightarrow \mathbb{E}[f(X)] \]
が成り立つから, 特に任意の $t\in \mathbb{R}$ に対して $f_t(x) = e^{\sqrt{-1}tx}$ とおけば
\[ \varphi_n(t) \rightarrow \varphi(t) \]
が成り立つ.
$\varphi_n$ が $\varphi$ に各点収束するならば$X_n$ は $X$ に分布収束すること
特性関数 $\varphi$ は連続関数なので, 特に $t=0$ において連続である.
$t=0$ における連続性から, $(X_n)_n$ は緊密なので, Helly の選択原理からある確率変数に分布収束する.
これが $X$ であることは各点収束が一意であることからわかる.