連続分布と離散分布

連続分布

確率変数 $X$ が連続分布を持つとは, 分布関数 $F_X$ が微分可能であることを言う. さらにこのとき, $X$ の確率密度関数 $f_X$ を

\[ f_X(x) = \dfrac{d F_X(x)}{d x}, \quad x\in \mathbb{R} \]

により定める. 定義より明らかに

\[ F_X(x) = P(X\le x) = \int_{-\infty}^x f(y)\,dy, \quad x \in \mathbb{R} \]

が成り立つ.

離散分布

確率変数 $X$ が離散分布を持つとは, 高々加算無限な集合 $M\subset \mathbb{R}$で,

\[ P(X\in M) = 1 \]

となるときを言う. このとき,

\[ p_X(x) = P(X=x) ,\quad x \in M \]

を確率質量関数と呼ぶ.

連続分布でも離散分布でもない場合

あるけど扱わない