カイ二乗分布

X1,X2,⋯ ,Xn∼N(0,1),i.i.d.X_1, X_2,\cdots, X_n \sim N(0,1),\quad i.i.d. とする. このとき,

Y=X12+X22+⋯+Xn2 Y = X_1^2 + X_2^2 +\cdots +X_n^2

の分布を自由度 nn のカイ二乗分布とよび, χ2(n)\chi^2(n) とかく.

ガンマ分布との関係

χ2(n)=Ga(n/2,2) \chi^2(n)= \textrm{Ga}(n/2,2)

である.

証明 まずは

E[e−1tX12]=(1−2−1t)−1/2 \mathbb{E}[e^{\sqrt{-1}tX_1^2}] = (1-2\sqrt{-1}t)^{-1/2}

を示そう. s<1/2s<1/2 に対して,

G(s)=E[esX12]=12π∫esx2e−x2/2 dx=(1−2s)−1/2 \begin{aligned} G(s) &=\mathbb{E}[e^{sX_1^2}]\\ &= \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int e^{sx^2}e^{-x^2/2} \,dx\\ &= (1-2s)^{-1/2} \end{aligned}

である. これより, G(z)G(z) は原点近傍で正則である. 一方で複素関数

(1−2z)−1/2 (1-2z)^{-1/2}

は z≠1/2z\neq 1/2 において正則であり, G(z)G(z) と原点近傍の実軸上で一致している. よって一致の定理により G(z)=(1−2z)−1/2G(z)= (1-2z)^{-1/2} である.

z=−1tz = \sqrt{-1}t, t∈Rt\in \mathbb{R} を代入することで, 特性関数 ϕX12(t)\phi_{X_1^2}(t) について

ϕX12(t)=E[e−1tX12]=(1−2−1t)−1/2 \phi_{X_1^2}(t) = \mathbb{E}[e^{\sqrt{-1}tX_1^2}] = (1-2\sqrt{-1}t)^{-1/2}

である. X12,X22,⋯ ,Xn2X_1^2, X_2^2,\cdots , X_n^2 は互いに独立だから,

ϕY(t)=(1−2−1t)−n/2 \phi_{Y}(t) = (1-2\sqrt{-1}t)^{-n/2}

これより, YY の分布はガンマ分布 Ga(n/2,2)\textrm{Ga}(n/2,2) に従う.