カイ二乗分布
$X_1, X_2,\cdots, X_n \sim N(0,1),\quad i.i.d.$ とする. このとき,
\[ Y = X_1^2 + X_2^2 +\cdots +X_n^2 \]
の分布を自由度 $n$ のカイ二乗分布とよび, $\chi^2(n)$ とかく.
ガンマ分布との関係
\[ \chi^2(n)= \textrm{Ga}(n/2,2) \]
である.
証明
まずは
\[ \mathbb{E}[e^{\sqrt{-1}tX_1^2}] = (1-2\sqrt{-1}t)^{-1/2} \]
を示そう. $s<1/2$ に対して,
\[ \begin{aligned} G(s) &=\mathbb{E}[e^{sX_1^2}]\\ &= \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int e^{sx^2}e^{-x^2/2} \,dx\\ &= (1-2s)^{-1/2} \end{aligned} \]
である. これより, $G(z)$ は原点近傍で正則である. 一方で複素関数
\[ (1-2z)^{-1/2} \]
は $z\neq 1/2$ において正則であり, $G(z)$ と原点近傍の実軸上で一致している. よって一致の定理により $G(z)= (1-2z)^{-1/2}$ である.
$z = \sqrt{-1}t$, $t\in \mathbb{R}$ を代入することで, 特性関数 $\phi_{X_1^2}(t)$ について
\[ \phi_{X_1^2}(t) = \mathbb{E}[e^{\sqrt{-1}tX_1^2}] = (1-2\sqrt{-1}t)^{-1/2} \]
である. $X_1^2, X_2^2,\cdots , X_n^2$ は互いに独立だから,
\[ \phi_{Y}(t) = (1-2\sqrt{-1}t)^{-n/2} \]
これより, $Y$ の分布はガンマ分布 $\textrm{Ga}(n/2,2)$ に従う.